Свойства медиан, биссектрис, высот треугольника.

Теорема 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Теорема2.  Три медианы пересекаясь делят треугольник на 6 равновеликих треугольников с общей вершиной в точке пересечения.

Теорема 3. Длина медианы, к стороне с равна 

Теорема 4. Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке. (точка пересечения - ортоцентр).

Лемма1. Если АА1 и ВВ1 высоты треугольника АВС, то треугольник А1В1С подобен треугольнику АВС, с коэффициентом подобия .

Лемма2. . Если АА1 и ВВ1 высоты (или их продолжения) треугольника АВС пересекаются в точке Н, то справедливо  АН

Теорема 5. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Задачи для решения.

1.     Медианы АА1 и СС1 треугольника АВС пересекаются в точке О. АА1 =12, СС1=6, одна из сторон 12. Найти площадь треугольника АВС.

2.     Биссектриса угла ВАД  параллелограмма АВСД пересекает сторону СД в точке М. В треугольник АМД вписана окружность, касающаяся стороны ДС в точке Е и стороны АД в точке К.

А) докажите, что прямые ЕК и АМ параллельны.

Б)Найдите угол АДС, если известно, что ВС=14 и КЕ=7.

3. В треугольнике АВС угол В =1500, Н-точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника.

А)  Докажите, что угол АНС=300.

Б) Найдите НВ, если АВ=6, ВС=

4. В треугольнике АВС высота ВН равна 4, медиана АМ равна 7,5. К-точка пересечения ВН и АМ. Расстояние от точки К до стороны АС равна 1.

А) Докажите, что АН:СН=1:2

Б) Найдите площадь треугольника АВК.